Lugar para la reflexión, opinión e intercambio de experiencias, ideas y recursos entre los diversos agentes que componen la comunidad educativa del IES Gregorio Salvador de Cúllar.
Para muchas de las personas que tienen la suerte de tener un trabajo más o menos estable, y eso es algo que en actualidad es harto complicado, el verano se asocia a época de descanso, donde las horas las dedicamos/malgastamos a recuperarnos del cansancio y estrés asociados a nuestro quehacer diario.
Las actividades que realizamos en este periodo vacaional son muy variadas. Hay gente que dedica este tiempo al culto al cuerpo mediante una dieta estricta basado en la práctica deportiva de la barra fija y la dieta de chiringuito; otros viven a lo loco y disfrutan del delicado arte del tueste a vuelta y vuelta aderezados en aceites de almendra y zanahoria en la arena/piedras que componen nuestras playas.
Otra mucha gente dedica su tiempo libre a viajar. Estos viajes son de índole muy diversa, desde quien viaja para practicar la dieta-deporte que hemos detallado anteriormente o quien hace turismo cultural por alguna ciudad especialmente atractiva o incluso viajar a otros pueblos y ciudades a visitar a familias y amigos.Con esta idea Amalia Castillo de 4º ESO, basándose en una obra de Claudi Alsina y en su propia investigación, nos propuso un curioso viaje alrededor del mundo visitando algunos de los lugares más hermosos de la tierra pero mirándolos con un punto de vista diferente, con ojos matemáticos. Todo su trabajo lo recopiló en la siguiente presentación:
Os propongo y os invito a que indaguéis sobre algunas relaciones entre los números y algunos grandes conjuntos arquitectónicos de sobra conocidos por todos. Por ejemplo, el número 3 es clave en la arquitectura del Palacio de Versalles, por la disposición de las habitaciones, la geometría de los jardines y las perspectivas de los senderos. El Escorial parece reproducir la planta arquitectónica del Vaticano y del templo de Salomón. La Sagrada Familia diseñada por Gaudí está asociada al número 12 -por el número de los apóstoles cristianos- que reaparece en todos los cálculos del edificio. El número 8 rige una parte importante de la arquitectura árabe, siendo sus máximos exponentes la Alhambra de Granada y La Mezquita de Córdoba.
Igualmente en otras artes también es sencillo reconocer la huella de las matemáticas. El compás del tango es "2 por 4" y la figura del baile es un 8 y todo ello remite a la figura de un cuadrado virtual que está presente en el Aleph de Borges y en la división de Buenos Aires en manzanas cuadradas. Místicos, geómetras y filósofos desde la época de los griegos Euclides y Platón trabajaron el tema de las proporciones. Así nació la creencia en el "número de oro" que se puede rastrear en La Monnalisa de Leonardo da Vinci, Las Meninas de Diego Velázquez o la Leda Atómica de Salvador Dalí. Esta proporción reaparece en el diseño de las catedrales góticas, particularmente en la catedral de Chartres, o Notre Dame de París.
Os animo a que intentéis hacer algo parecido con La Torre de Cúllar. Animo
Muchas de las ramas de la física puedes ser considerados por algunos de vosotros como cuentos, paparruchas, falacias,... y a sus grandes "estrellas" habrá quien las trate de agoreros, tahures, pitonis@s,...
Para otros, las mismas partes de esta ciencia pueden considerarse como pesadillas, de las que algún día aspiran a despertar, en las que habitan monstruos creados por y para hacerlos vivir en la constante inquietud del vértigo.
Otros, en cambio, hacen de estas historietas y pesadillas su modus vivendi. Una forma de vida que les conmina a preguntarse continuamente por las razones que rigen el comportamiento de todo aquello que les rodea. Esta actitud para con la vida les lleva a plantearse la posibilidad de que el batir de alas de una mariposa en Cúllar pueda provocar, o puede incluso que lo haya hecho, algún desastre a gran escala en otro lugar del planeta; pongamos por ejemplo el tsunami que arrasó a Japón o bien las inundaciones provocadas por el Katrina en el Golfo de México. Incluso, algunos de estos pocos hacen de la constante duda por todo su hobbie, hay hasta quien trabaja de ello, y más allá de plantearse porqué el cielo es azul o a que huelen las nubes, se atreven con aspectos mas metafísicos, filosóficos o incluso patafísicos. Entonces se atreven a imaginar como serían los viajes en el tiempo y entonces, como solución a este problema, su mente les hace concebir el universo como una especie de enorme queso de Gruyer cuyo seno es atravesado por agujeros de gusano que permitirían este tiepo de viajes. O ven que el mundo que les ha tocado vivir es algo estrecho y deciden hacer reforma y ampliarlo introduciendo unas 7-8 dimensiones más de las que cohabitan con el resto de los mortales.
En relación con todo esto, en el marco de la Semana de la Ciencia, a Joaquín Lara Sarabia no se le ocurrió otra cosa más que calentarnos la cabeza con algunos fenómenos físicos relacionados con la mecánica cuántica y la relatividad especial del famosísimo mercachifle Einstein. Además de hablar de los agujeros de gusano y la extraña teoría de los universos paralelos.
La exposición de aquella charla de Joaquín quedó reflejada en la presentación que aparece más arriba. En ella, Joaquín nos contó algunas de las paradojas más famosas de la física como la paradojas de los gemelos o la del astronauta. También nos habló de algunos de los resultados de la mecánica cuántica como la superposición de estados ilustrándolo mediante la famosa paradoja de los gemelos y todo ello explicándolo para un aforo lleno de personas de entre primero y cuarto de la ESO, lo que no dejaba de añadirle a una cuestión de por sí nada sencilla.
En la edición del 3 de Octubre de 2010 de el diario El Pais podéis encontrar una serie de artículos (1, 2) y fotografías (3, 4) sobre la vida de Grigori Perelman, posiblemente el mayor genio matemático de finales del s. XX y lo que va del XXI.
La lectura de estos artículos me ha recordado que este matemático no es el único "especialito" que ha habido en la historia, han sido muchos y sus anécdotas abundantes también. Por ejemplo:
En cierta ocasión, Einstein invitó a Artur Schnabel, pianista de gran renombre, a pasar un fin de semana musical. Se enfrascaron en una sonata de Mozart bastante complicada; Einstein tenía problemas para seguir la partitura. Al final, y tras múltiples explicaciones, Schnabel se enfadó, golpeó con irritación las teclas y gimió: ” No, no, Albert, así no …! Por Dios! ¿Es que no sabes contar? Uno, dos, tres, cuatro …!”
Isaac Barrow (1630-1677) fue un niño problemático cuyo padre solía decir que si Dios tuviera que llevarse a uno de sus hijos, él podría prescindir de Isaac. Por suerte, Dios no se lo llevó y tuvo oportunidad de crecer. Se convirtió en el primer profesor lucasiano de Matemáticas de Cambridge, puesto que cedería en 1670 a Isaac Newton (más tarde a otros como Dirac y Hawing a día de hoy). De hecho, el propio Newton fue discípulo suyo.
Se podría decir que no hubo mucho afecto entre Barrow y el favorito del rey Carlos II, el conde de Rochester, quien había llamado a los sacerdotes “rancia reliquia de la divinidad”. Un día, en la corte, donde Barrow servía como capellán del rey, se encontró con el conde, quien le hizo una profunda reverencia y le dijo sarcásticamente:
- A sus pies, doctor.
- Y yo a sus plantas, señor.
- Seré vuestro más sincero servidor hasta el mismísimo centro de la Tierra, señor.
- Y yo en las antípodas, señor.
- Señor doctor, soy vuestro hasta en el más oscuro abismo del infierno.
- Pues yo ahí, señor mío, ya me separo de vos - respondió mordazmente Barrow y se fue.
Uno de los matemáticos más sorprendentes de la historia fue Paul Erdös (1913-1996). Escribió más de 1.200 artículos con unos 300 coautores. Ese tremendo número de publicaciones sólo ha sido superado en toda la historia por el inigualable Leonhard Euler.
No tenía un lugar fijo de residencia. Viajaba de un departamento de matemáticas a otro con dos maletas escribiendo los artículos con otros matemáticos mucho más “normales” que él. No se preocupaba lo más mínimo de su situación personal, nunca tuvo tarjeta de crédito ni talonario de cheques. Viajaba con dos maletas porque decía que “la propiedad privada es una carga”.
Por el contrario, siempre fue muy generoso con los demás. En 1984 ganó el premio Wolf, dotado con 50.000 dólares. Se quedó 750 y el resto lo repartió.
La física no es ni tan complicada ni tan seria como la pintan. De hecho es común encontrar chistes y tiras cómicas sobre físicos y su trabajo. Hoy quiero descubriros Unpopular Science, unas geniales ilustraciones que realiza Cristoph Neiman para el periódico The New York Times en las que explica de forma sencilla, y con objetos cotidianos, las leyes física que nos afectan en nuestra vida diaria.
Veamos algunas de estas leyes
Primera Ley de Newton: Todo sistema tiende a estar en reposo o en movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sobre él se aplique alguna fuerza.
Creo que no es necesaria explicación alguna acerca del funcionamiento de esta ley.
Ley de la gravitación universal de Newton: Dos cuerpos se atraen entre sí de forma directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Esto puede que quede aún más claro si observamos la siguiente viñeta, que explica de manera más evidente la ley de la gravitación universal.
En la Luna, la acción de la gravedad es mucho menor que en la Tierra ya que el tamaño de la primera es mucho menor que el de la segunda. Además esto también nos ayuda a diferenciar entre dos conceptos que se suelen confundir a menudo: la masa y el peso. La masa
de un objeto es una cualidad intrínseca del objeto y, por tanto, es independiente del lugar donde se encuentre. Por otro lado, el peso (el peso es una fuerza y por tanto una magnitud vectorial, luego en este caso nos estamos refiriendo a su módulo) de un objeto es el producto de su masa por la aceleración de la gravedad local del punto en el que está dicho objeto (la aceleración es una magnitud vectorial, luego también nos estamos a su módulo). Dado que la aceleración de la gravedad depende de la masa de los objetos, la fuerza con que estos se sientan atraídos por un cuerpo también va a depender de ella. Por este motivo, la luna atrae con mucha menos fuerza a un objeto que la tierra. De ahí que en los paseos sobre la superficie lunar, los astronautas se paseen con esos saltitos tan grandes cuando aquí, en la Tierra, irían andando normalmente.
El título de este post puede parecer, a priori, algo pretencioso o sacado de un libro de autoayuda de Jorge Bucay. Pero nada más lejos o cerca de dicha idea.
La resolución del cubo de Rubik implica su estudio, y al igual que ocurre en la vida real, cuando se hace un movimiento para mover una pieza, hay que vigilar que todas las que están bien puestas no se descoloquen.
Son muchos los que han intentado acercar el cubo de Rubik a la gente, de explorar sus aspectos menos ociosos y darle una visión mucho mas humana tanto al objeto en sí como a su propia solución. Quizás fuera esta reflexión la que llevó a Samuel Sarmiento, durante una estancia en Alemania, como podía acercar la poesía a la gente de una manera más lúdica y atractiva.
El resultado de su idea se plasmó en lo que dió en llamar "Cubo Anatrópico". Este cubo no es más que un cubo de Rubik en los que en cada uno de los cuadrados de colores que componen sus diferentes caras aparecen diferentes textos que permiten, gracias a las permutaciones del juego original, construir diferentes poemas que tratan diferentes aspectos de la vida.
Los versos escritos en este cubo son de poetas chilenos como Pablo Neruda, Vicente Huidobro o el propio Samuel Sarmiento. La idea, el cubo de Rubik, en la que se basa este cubo hace del propio objeto algo lúdico y también lo convierte en una herramienta educativa tanto en el plano puramente matemático como en el lingüístico, pues colabora a mejorar la comprensión lectora, enriquece el lenguaje y también mejora la psicomotricidad.
De cualquier modo, el objeto de este post no solo es hablaros de estas cosas, sino hacer mencion a la charla que ayer dio Antonio Lara Sarabia (alumno de 4ºESO) a sus compñaeros del centro dentro de las jornadas de la semana de la ciencia que se esta desarrollando en el IES Gregorio Salvador.
Antonio habló de todo lo relativo a su invención, historia, resolución y variantes del juego original planteando y explicando un algoritmo para resolverlo. Todo ello quedó plasmado a través de una presentación en prezi (www.prezi.com) que os dejo aquí.
Como ya os dijo Antonio, el cubo de Rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional inventado por el profesor de arquitectura húngaroErnő Rubik en 1974. Originalmente llamado "cubo mágico" salió al mercado en 1980 y ganó el premio alemán a mejor juego del año en la categoría Mejor rompecabezas ese mismo año. Hasta enero de 2009 se han vendido 350 millones de cubos en todo el mundo, haciéndolo el juego de rompecabezas más vendido del mundo. Es considerado ampliamente el juguete más vendido del mundo.
Diversos estudios matemáticos han demostrado que el número de Dios del cubo de Rubik es 20. Es decir, que el número máximo de movimientos necesario para resolver el cubo de Rubik es de 20. Este Número de Dios ha sido considerado como el auténtico «Santo Grial» del cubismo. Esto quiere decir que todos los cubos, por muy revueltos que estén, pueden resolverse con solo 20 movimientos, y que ninguno requiere más que eso (aunque muchos requieren menos, naturalmente).
Este número ha sido rebajado, mediante demostraciones matemáticas, con los años. Así, hace algunas décadas, el número máximo era 23 y hace 5-6 años se consiguió rebajar a 22.
Para encontrar esta nueva solución los expertos han empleado 35 años en tiempo de CPU de ordenador donados por Google; el tiempo real fueron unas cuantas semanas. Los detalles del método son complejos, pero la idea era básicamente reducir el problema principal a un grupo de problemas más pequeños y luego comprobar cada posición de forma metódica: resolviendo todas y cada una de las 43.252.003.274.489.856.000 posiciones posibles que tiene un cubo de Rubik de 3×3×3.
Muchas posiciones iniciales quedaron eliminadas por giros, simetrías y similutudes de todo tipo, pese a lo que hubo que calcular individualmente millones y millones de ellas. Todas se pudieron resolver en un máximo de 20 movimientos, de ahí el valor de la solucion. Ahora se sabe tambien que «sólo» hay unos 300 millones de posiciones que requieran esos 20 movimientos, más o menos una de cada 1.000 millones de todas las posibles. Lo cual puede considerarse muchas o pocas, según se mire.
Sin embargo, al margen de cuestiones puramente técnicas, también quería hablaros de las consecuencias que ha tenido la irrupción del cubo de rubik en aspectos tan aparentemente separados del juego como el arte.
El éxito del cubo de Rubik fue tal que dio lugar a una serie de televisión y muchos trabajos literarios. El cubo se ganó un lugar como exhibición permanente en el Museo de Arte Moderno de Nueva York e ingresó en el Oxford English Dictionary. Son millones las páginas dedicadas a diferentes aspectos del cubo que podemos encontrar en internet y millares los vídeos en YouTube que ofrecen tutoriales y vídeos de soluciones.
La primera de las charlas divulgativas de la semana de la ciencia se ha celebrado hoy durante el recreo y sus ponentes de dicha charla han sido Miguel Robles Fernández y Andres Miguel Muñoz Cano alumnos del 4º ESO.
Como bien dice el título la charla versaba sobre los principios físicos que rigen los superpoderes de algunos superheroes de los personajes de cómic. Esta charla la han elaborado a partir del libro de James Kakalios de igual título (se encuentra en la biblioteca del centro) y de diferentes fuentes de internet.
Según dicen nuestros alumnos, la física siempre me ha gustado, especialmente todo lo relacionado con los temas de astrofísica, los viajes en el tiempo y mundos paralelos, los agujeros negros...
Por otro lado, desde pequeños siempre se les ha llamado la atención todo el mundo cómic, especialmente los de la factoria Marvel. Es por ello que se plantearon la existencia o no de evidencias físicaas que justificaran los superpoderes de esos superheroes-supervillanos. Puestos a cabilar, se les ocurrió, basándose en dichos principios físicos, cuales serían las posibles consecuencias del enfrentamiento entre ellos y que posibles resultados podrían darse en el caso de que se produjera un combate entre alguno de ellos.
Si a eso le sumamos que yo soy físico, y que en 2004 cayo en mis manos este libro, lo primero que se me vino a la cabeza una vez conocí los intereses de estos alumnos fue: "que lo lean Andres y Miguel, que resuelvan sus friki-dudas y se las comenten a sus compañeros en una conferencia en la semana de la ciencia".
Pero amigos de los superhéroes, cuidado porque este libro es una "trampa mortal" para aquellas personas que odien la física. Bajo la apariencia de un libro curioso sobre física aplicada a personajes del cómic, se esconde un libro de introducción a la física puro y duro, con sus ecuaciones y razonamientos matemáticos. Eso sí, todos los ejemplos están referidos a personajes de cómics y por tanto es difícil que se haga aburrido, pero eso no quita que pueda volverse arduo en algún momento.
El libro repasada todas las áreas de la física (mecánica, fluidos, sonido, electromagnetismo, cuántica, etc.) siempre usando como eje conductor personajes como Superman, Flash, Spiderman o el Hombre Hormiga.
La narración es bastante entretenida y con un cierto tono humorístico que le quita hierro al asunto. Además, las formulaciones matemáticas están reducidas al mínimo necesario, por lo que no encontraréis páginas y páginas de fórmulas, aunque si muchas repartidas por el libro.
Ellos dicen que les ha gustado (pero claro, que me iban a decir a mí), aunque comprendo que no es muy llamativo para el público en general, ya que tienes que estar preparado para recibir una abundante información de contenido matemático para la que todo el mundo no está preparado/dispuesto.
Eso sí, es genial comprobar como salvando ciertas "excepciones milagrosas" muchos de los poderes de los superhéroes no van ni mucho menos contra las leyes de la física, y lo que es mejor, muchos guionistas y dibujantes de cómics saben más física en muchas ocasiones de lo que a priori imaginaríamos.
En fín aquí os dejo el prezi (otra manía mía) que han hecho para ilustrar la charla.
Estos días estamos celebrando la Semana de la Ciencia. Este es uno de los carteles que hemos diseñado pra publicitarla dentro del centro.
Las actividades que se van a realizar en esta semana de la ciencia han sido desarrolladas a partir de la colaboración de los departamentos de Matemáticas y de Ciencias Naturales.
Estas actividades, que podemos agrupar en dos categorias, charlas divulgativas, y experiencias o experimentos didácticos, van a ser expuestas por el alumnado de la 4º ESO de Ciencias a cualquier alumn@ del centro.
Los distintos experimentos se han dispuesto entre el laboratorio del centro y el aula-taller de tecnología. Además en esta última se van a desarrollar una serie de charlas divulgarivas de títulos mas que sugerentes. Las presentaciones (todas ellas elaboradas utilizando www.prezi.com) van a ponerse a disposición pública a través de esta página.
A la par que se desarrolla la semana de la ciencia se ha propuesto al alumnado del centro un concurso para elaborar microrrelatos de temática científica.
Mis primos pequeños han pasado los días de puente en el pueblo. Me dejaron a cargo de ellos un par de tardes. Tanto a ellos como a mí nos gustan los videojuegos, y ya que mis primos prefieren Wii y Nintendo Ds, para entretenerlos (y por qué mentir, para entretenerme), estuve jugando con ellos a juegos como Mario Kart DS, Mario Kart WII, Mario Party, New Super Mario Bros WII, New Super Mario Bros DS, Super Mario Galaxy, Super Mario Galaxy 2, Mario Power Tennis y Mario Strikers Charged.
Estuve casi todo el puente jugando a estos juegos (sí, en lugar de estudiar o hacer algo productivo). Mientras estudiaba para el examen de historia, estuve reflexionando sobre lo que hice en el puente, y mientras me arrepentía de haberlo pasado entero haciendo saltar a un fontanero bigotudo que come setas alucinógenas que le hacen crecer y le dan el poder de lanzar bolas de fuego, rompe ladrillos con la cabeza y se dedica a pisar tortugas en lugar de estudiar o hacer algo productivo, me paré a pensar en el argumento de la lista de juegos que he puesto arriba. Casi el 90% de ellos tiene el mismo argumento: El malo, llamado Bowser, secuestra a la princesa Peach, y la misión de Mario es rescatarla. El 10% restante son juegos de deporte o de minijuegos, por lo que directamente no tienen argumento.
Lo primero que pensé es que somos tan tontos que nos venden 10 juegos con el mismo argumento. Luego me paré analizar el argumento en sí, y tras pensar en las clases que hemos recibido en ética sobre los estereotipos, caí en la cuenta de que el argumento está lleno de ellos:
-Bowser cumple el estereotipo del hombre malvado (aunque en realidad es una especie de dragón-tortuga) que comete malos actos.
-La princesa Peach cumple el estereotipo de mujer indefensa que no sabe valerse por sí misma y necesita ayuda.
-Mario cumple el estereotipo de personaje masculino valiente que salva a la princesa.
Además, creo que las mujeres son usadas como un objeto (Bowser la secuestra, y Mario la rescata. Ahora la tienes tú, ahora la tengo yo) y que son discriminadas, ya que en juegos como New Super Mario Bros Wii puedes elegir cuatro personajes, y todos son masculinos, y en Mario Kart, todos los coches de los personajes femeninos son rosas y muy adornados. En todos los juegos que he mencionado arriba, sólo hay dos personajes femeninos, que son princesas y muy similares entre sí, por lo que las dos cumplen el estereotipo.
Las mujeres quedan incluso relegadas a las tareas del hogar. Por ejemplo, en Super Mario Galaxy 2, cuando Bowser secuestra a la princesa dice: ¡Ahora podrá hacerme una tarta gigante!
Aunque no nos demos cuenta, estereotipos como éstos están en la mayoría de películas, series y videojuegos que consumen los niños pequeños. Hay que vigilar muy bien qué ven nuestros vástagos si queremos llegar algún día a una sociedad sin diferencias de género.
Vamos a suponer que un día os encontráis en el bolsillo 21 monedas de 1 céntimo. Eso es todo. ¿Qué puede hacerse con 21 céntimos? La respuesta está cara: ¡Jugar a Tschuk! ¿Qué otra cosa podrías hacer con ellas?
Sin embargo no vale cualquier moneda. Las 21 monedas de las que hablo tienen pintados números del 1 al 7, uno en cada cara, de manera que cada moneda es diferente y ninguna de ellas tiene el mismo número en ambas caras. Si os paráis a contarlas veréis que sólo hay 21 monedas que sean diferentes entre sí.
Vale, ya tenemos las monedas así que es hora de empezar a jugar. En primer lugar barajamos bien las monedas y las colocamos sobre una mesa teniendo mucho cuidado de que nadie vea los números que han quedado boca abajo. Lo más sencillo es apilar las monedas ordenadamente formando una barrera entre los dos jugadores.
Una vez echo esto empieza el juego en sí. En su turno, cada jugador (es un juego pensado para uno o dos jugadores) coge una moneda de uno de los montones comunes, le da la vuelta y la coloca delante suyo (alineada con el montón de donde la ha cogido). Ganará el primero que consiga tener en su lado de la mesa al menos un representante de cada número. En caso de que se llegue al final de la partida sin que ninguno de los dos jugadores haya ganado el juego estos pueden, también por turnos, ir dándole la vuelta a las monedas de su lado hasta obtener una combinación ganadora.
Para jugar bien al Tschuk es recomendable repasar algunos conceptos matemáticos básicos. En particular habrá que repasar algunos conceptos de probabilidad y tener cierta destreza con el cálculo mental, ya que hay que hacer sumas y comparar fracciones. Se trata, probablemente, del juego de deducción más sencillo que conozco y la naturaleza de sus componentes invita a improvisarlo en cualquier lugar.
Un juego sin fisuras, sin reglas ad-hoc ni apaños. Sencillo, directo, elegante, minimalista. Y también un juego que invita a la revancha y que no aburre (¡la disposición inicial es diferente en cada partida!)
Tschuk es tan original e inteligente que estoy seguro de que pronto aparecerán mil variantes que usen esos mismo componentes. Mi más sincera enhorabuena a su autor Heinrich Glumper, su diseñador, y a la página www.boardgamegeek.com por recopilar este y muchos otros juegos.
Ya ha pasado más o menos un mes desde que publiqué el primer bricojuego, así que es el momento de ampliar nuestra colección de juegos que pueden construirse con materiales de andar por casa.
En esta ocasión os presento el Linja (siento que el enlace esté en alemán, pero es lo que hay) que es un juego, que pese a su aparente sencillez, tiene una gran carga estratégica. Linja fue inventado por Steffen Mühlhäuser que es el dueño de una editorial que se dedica a hacer juegos originales divertidos, y bonitos.
No he jugado muchas veces al juego, básicamente lo que va de mañana y en una versión online en alemán en la que tampoco me he enterado demasiado. Sin embargo este juego si que me ha llamado mucho la atención. Os diré porque:
1) Me encanta el aspecto minimalista, desnudo, zen, del juego. Lo componen 7 palos y 12 fichas de dos colores diferentes (es un juego para dos personas). Sus rasgos "zen" podríamos incrementarlos utilizando unas cañas de bambú, como vienen en la versión comercial del juego, en un lugar de unos simples palos.
Estos sencillos ingredientes hacen que este juego pueda entrar en la categoría de bricojuego. De hecho, si os fijáis bien, este juego entra mejor que el nonaga ya que para construir este juego sólo necesitamos un lápiz, para dibujar 7 rayas que nos representen a los 7 palos, y 12 objetos (piedras, monedas,...) por jugador que representen las fichas. Además, un "tablero" sencillo suele implicar que las reglas del juego sean también muy simples.
2) El otro aspecto a reseñar es el curioso y original movimiento de las fichas. Que os detallaré más adelante.
Pero,... ¿Cómo se juega al Linja?
El objetivo del juego es introducir el número máximo de fichas propias en territorio enemigo y que éstas avancen lo máximo posible en las líneas enemigas antes de que se acabe la partida (veremos ahora después cuando se acaba la partida). Una vez que la partida ha finalizado calcularemos nuestra puntuación sabiendo que por cada ficha que haya llegado a la última fila recibes 5 puntos, por cada ficha que lleves a la penúltima 3 puntos, por la antepenúltima se obtienen 2 puntos y por la anterior a esta tan sólo 1. El resto de filas no puntúan. Es obvio que el ganador será aquel jugador que más puntos haya logrado. Luego, el Linja no es más que una carrera.
¿Cuándo termina la partida?
El juego acaba cuando todas las fichas de uno y otro jugador se encuentren en territorio enemigo. Es decir, cuando no quede ninguna ficha enemiga por delante de las tuyas (o en la misma fila).
Disposición inicial del tablero y movimiento de las fichas
Como podéis ver en la figura, el tablero se forma colocando los 7 palos paralelos entre sí delimitando el tablero y dividiendo el terreno de juego en ocho escalones o franjas.
Inicialmente las fichas se colocan como aparece en el figura: ambos jugadores colocan seis de sus fichas en el escalón que tienen más próximo, y luego las otras seis en los escalones intermedios, una por escalón.
El aspecto más curiosos del juego es el movimiento de las fichas. Vamos a ver si puedo explicarlo suficientemente bien como para que todo el mundo lo entienda. En su turno de juego (el orden de los turnos se decide al inicio del juego mediante una tirada de dados, pares-nones, suertes,...), un jugador ha de completar las dos fases de dicho movimiento (en esto no se diferencia mucho del nonaga).
En la primera fase, el jugador moverá una cualquiera de sus fichas al escalón inmediatamente superior. En la segunda fase, ese mismo jugador tiene que mover cualquiera de sus fichas (también puede mover la que acaba de mover) tantos escalones como fichas, propias o ajenas, hubiese en el escalón que acaba de alcanzar la ficha que movimos en la primera fase del juego. Por tanto, el movimiento de la primera fase es crítico ya que determina cuantos escalones avanzaremos en la segunda fase del turno.
De los movimientos que se hacen en las fases de movimiento se deriva que NUNCA pueden moverse las fichas hacía atrás.
Situaciones excepcionales
Existen otras reglas que permiten resolver algunas situaciones excepcionales. Veamos cuales son:
Si el movimiento de la primera fase del turno cae en un escalón vacío, el jugador no podrá realizar la segunda fase.
Si el movimiento de la primera fase consiste en alcanzar el último escalón, el segundo movimiento consistirá SIEMPRE en avanzar un escalón la ficha que se desee independientemente de cuantas fichas hubiera en el último escalón.
Si por el movimiento realizado en la primera fase del turno, el movimiento de la segunda fase es más largo de lo que permite el tablero simplemente se lleva la ficha elegida a la último escalón y se desperdician el resto de avances.
NUNCA puede haber más de 6 fichas (entre propias y ajenas) en un escalón, salvo en el primer y último escalón.
Una última nota
Lo que hace realmente original a este juego es el sistema de movimientos ya que genera muchísimas posibilidades en cada turno. Si lo pensáis un poco veréis que el sistema de movimiento es muy lógico. Al igual que sucedía con el nonaga la existencia de dos fases de movimiento hace que las posibilidades de juego aumenten, y con ellas las horas de diversión.
Además, que a la hora de iniciar la segunda fase del turno debas considerar el número de fichas que tiene tu "enemigo" propicia que los jugadores interactúen de manera indirecta, compitiendo unas veces y cooperando otras para conseguir cada uno su propio objetivo.
Es bien conocida por tod@s mi afición por los juegos de ingenio, rompecabezas, puzzles y mi no menos "malvada" adicción a propagar dichos juegos a inocentes mentes como las vuestras. Es por ello, que os presento el Nonaga, diseñado por Viktor Bautista i Roca en 2008. Nonaga es un pequeño juego de ingenio para dos personas, parecido a las 3 en raya, extremadamente fácil de jugar, muy rápido y que os forzará a usar el cerebro.
Puesto que se trata de un "bricojuego", todos podréis haceros uno con materiales que podéis encontrar en vuestras casas o que incluso podéis dibujar/diseñar vosotros mismos. Si usamos materiales sencillos necesitaremos 19 arandelas y 6 fichas en dos colores diferentes (yo he utilizado canicas).
Vamos a ver como se juega a esto. Posición inicial
Primero de todo debemos conocer la posición de partida. Para ello nos vamos a ayudar de la siguiente imagen:
Si os fijáis bien hemos formado un hexágono regular de 3 arandelas de lado, de modo que hemos colocado las 6 fichas en los vértices de dicho hexágono de manera alterna. Para formar ese hexágono con las 19 arandelas sólo hay que colocar una arandela en el centro y 6 a su alrededor formando un hexágono y las otras 12 alrededor de este segundo hexágono. Una vez que hemos construido el "tablero" y hemos colocado las fichas echamos a suertes el orden de juego.
Y, ¿cómo se juega? La mecánica del juego es increíblemente sencilla. En su turno de juego cada jugador ha de realizar obligatoriamente dos acciones en el orden señalado y una vez realizadas el turno pasa a su contrincante. Estas acciones son:
1º Mover una de sus fichas.
2º Mover una arandela
Pero expliquemos estas acciones un poco más. ¿Qué significa mover una ficha?
Mover una de sus propias fichas significa que ésta ha de deslizarse en una de las (como máximo) 6 direcciones posibles (ver la figura para aclarar cualquier duda). Una vez elegida la dirección, la ficha debe seguir, hasta el final, el camino elegido, es decir, la ficha se detendrá cuando se encuentre con otra ficha (propia o ajena) o con el final del tablero. Está prohibido detenerse a medio camino ni saltar fichas.
En la imagen del ejemplo la ficha tiene 5 direcciones posibles de movimiento, ya que la sexta está bloqueada por una ficha contraria. Y los posibles destinos están señalizados por las puntas de flecha. ¿Qué significa mover una arandela?
Mover una arandela implica cambiar una arandela de lugar. Cabría preguntarse si es posible mover cualquier arandela del tablero. La respuesta es que NO. Sólo es posible mover las arandelas que puedan "deslizarse" libremente sin que su movimiento implique el movimiento de otra, por lo que las candidatas al cambio son las anillas de la periferia. Igualmente, tampoco se podrá mover la arandela que el jugador contrario acaba de mover en el turno precedente ni una arandela que este ocupada por cualquiera de las 6 fichas. Además la posición final de la arandela que se decida mover no podrá ser cualquiera. Sólo podrás dejar una arandela en una nueva ubicación, obviamente en la periferia, si ésta está al menos en contacto con otras dos arandelas, luego no pueden quedar “islas”, es decir, no podrás mover una arandela si con ese movimiento divides el tablero en dos partes aisladas la una de la otra.
Evidentemente, la arandela que aparece marcada en negro sobre la imagen es la que hemos decidido mover y sólo podrá desplazarse a los destinos señalados mediante líneas discontinuas.
Sólo nos falta saber el objetivo del juego.
El objeto del juego es mover las fichas-arandelas de modo que las fichas de un mismo color se "toquen". Ganará aquel jugador que consiga colocar que sus 3 fichas estén en contacto: ya sea el línea recta, en curva o triángulo.
Como veis este juego cumple la reglas de las 3B, a saber "Bueno, Bonito y Barato". además es realmente sorprendente porque no se esperaría tanto con tan poco: distracción, entretenimiento y estrategia para dos jugadores, con unas sencillas reglas y muy poco material. Pese a su sencillez de ejecución, el tema del tablero cambiante introduce una dimensión especial al juego que es el que lo hace brillante. Sin duda es un juego que nos hará pensar y poner en acción nuestras dotes de estratega. ¡Qué más se puede pedir!
En este vídeo, de Pedro Jorge Romero, podéis aprender como construir el tablero y os enseñará a jugar
P.D: En mi opinión, gracias a su sencillez, elegancia, alto componente estratégico y "precio", este juego está llamado a convertirse en un clásico moderno a la altura de los conocidos Abalone o LOA. P.D: Cuando queráis podemos jugar.
Pese a lo que much@s de vostr@s podáis pensar, mis aficiones van mucho más allá de las "simples" matemáticas. Me considero melómano (quien no sepa que es lo que significa que lo busque), pero no un melómano cualquiera, no uno del montón, jajajjaa. Me gustan (¡como no!, pensaréis much@s) las cosas raras, instrumentos singulares (el hang-drum, el theremin, la quena, el bandoneón,...) de los que ni siquiera habréis oído hablar.
Pues bien, esta mañana como internauta, he dado con otra rareza. Aquí os dejo un video:
Creo que podríamos construir uno, invito a colaborar a los departamentos de Tecnología y de Música, así como a todos los alumn@s de 4º, aunque especialmente a es@s que cursan esas materias optativas. Los materiales son muy sencillos, unas tuberías de PVC, una sierra, y poco más. Yo me encargaría de hacer las cuentas para afinar el cacharro, y echaría una mano con los planos.
¿Quién se apunta? Ojo, es otra "chalaura" de las mías, pero creo que se puede realizar.
Este corto de animación realizado por Cristobal Vila expone elegantemente la intrincada relación que existe entre la naturaleza y las matemáticas a través de la conocida sucesión de Fibonacci descrita por Leonardo de Pisa. Además de la increíble calidad del trabajo de Cristobal Vila me gustaría destacar la música que aparece en el vídeo. El tema música se llama Often a Bird de Wim Mertens.
A continuación, voy a dar una pequeña base teórica que permitirá entender mejor los fundamentos matemáticos en los que se basa la animación anterior.
La animación arranca presentando una sucesión de números. Una serie muy famosa y reconocida desde hace muchos siglos en el mundo occidental gracias a Leonardo de Pisa, una matemático italiano del siglo XIII, también llamado Fibonacci. Por eso se la conoce como Sucesión de Fibonacci, aunque ya había sido descrita con mucha anterioridad por los matemáticos hindúes.
Se trata de una sucesión infinita de números naturales donde el primer valor es 0, el siguiente es 1 y, a partir de ahí, cada cantidad se obtiene sumando las dos anteriores.
Los valores de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones, pero una de la más reconocida es la Espiral de Fibonacci, que siempre se ha utilizado como una aproximación a la Espiral Áurea (un tipo de espiral logarítmica) porque es más fácil de representar simplemente con la ayuda de un compás.
Eso es lo siguiente que se muestra en la animación, justo después de aparecer los primeros números de la sucesión: el proceso de construcción de una de estas espirales.
Primero se van creando cuadraditos que corresponden a cada valor de la sucesión: 1x1 - 1x1 - 2x2 3x3 - 5x5 - 8x8, etc y se disponen de la manera que vemos en el gráfico de la izquierda.
A continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci, a la derecha.
En la animación se ha introducido una pequeña corrección óptica para hacer que la curva resultante sea más parecida a una verdadera Espiral Áurea (más armoniosa y equilibrada), tal como se explica en la figura que aparece a continuación:
NOTA IMPORTANTE: aunque viendo la animación se transmite la idea de que la Espiral de Fibonacci (o la Espiral Áurea, tanto da) está en la base de la forma de un Nautilus, realmente no es así. Es curioso, porque si buscáis en Google Images: “espiral+nautilus” veréis cantidad de imágenes que sugieren que esta concha realmente se basa en el sistema constructivo descrito más arriba.
Por tanto en la animación Cristoval Vila ha hecho trampa. O se podría explicar de un modo más “fino”, diciendo que se ha tomado una licencia artística. Una vez que ha aparecido el Nautilus se da paso a la segunda parte de la animación. En ella se introduce el concepto de Proporción Áurea mediante la construcción de un Rectángulo Áureo. Para ello partimos de un simple cuadrado y utilizamos un procedimiento clásico que sólo requiere regla y compás. Lo podemos ver en la siguiente serie de ilustraciones:
Se trata un rectángulo muy especial y conocido desde antiguo. En él se cumple esta proporción, también conocida como Razón Áurea o Divina Proporción: el lado mayor (a) es al lado menor (b) lo que la suma de ambos (a+b) es al mayor (a).
El resultado de esta proporción (es decir, de la división de a por b) es un número irracional también conocido como Phi —no confundir con Pi— y con un valor aproximado de 1,61803399… Antiguamente no se concebía como una verdadera “unidad” sino como una sencilla relación de proporcionalidad entre dos segmentos. Y podemos encontrarla en numerosas figuras creadas por el ser humano en el arte y la arquitectura, desde las civilizaciones Babilónicas o Asirias hasta nuestros días, pasando por la Antigua Grecia o el Renacimiento.
UNA CURIOSIDAD: no está evidenciada en la animación, pero existe una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea.
A la izquierda tenemos un ejemplo (luego veremos otro más): si vamos dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales.
En la animación vamos un pasito más allá y llegamos a un nuevo concepto, quizás no tan conocido, pero igualmente importante: el Ángulo Áureo. Es decir, la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares:
Con estos dos segmentos circulares se sigue cumpliendo la misma proporcionalidad áurea, pero en este caso el valor del ángulo formado por el menor de ellos es otro número irracional, que podemos simplificar y redondear como 137,5º .
Y resulta que ese valor está muy presente en la naturaleza. Esto es lo siguiente que vemos en la animación: cómo se configura la estructura que forman las pipas de un girasol.
Fijáos en al siguientes figuras:
— Aportamos una primera pipa de color rojo.
— Giramos 137,5º
— Añadimos una segunda pipa de color verde y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro.
— Giramos otros 137,5º
— Añadimos una tercera pipa de color tostado y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro, hasta tocar con la primera.
— Giramos otros 137,5º…
… y así sucesivamente, pipa tras pipa, iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tenéis en las siguientes figuras.
De este modo llegamos a la estructura característica en la que están dispuestas todas las pipas en su girasol, que es la más compacta posible. Siempre se ha dicho: la naturaleza es sabia :-) OTRA CURIOSIDAD: ¿Recordáis que habíamos comentado que había una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea? Pues bien, a continuación tenemos otro punto de encuentro entre ambos conceptos. Fijaos en las siguientes imágenes de un girasol.
Si observáis atentamente la configuración de las pipas veréis cómo aparecen una serie de patrones en espiral. En la ilustración de la izquierda tenéis resaltadas tres de las tipologías de espirales que podemos encontrar.
Pues bien: si os centráis en una de las tipologías, por ejemplo la que aparece en verde, y os vais a la ilustración superior derecha podréis comprobar que se cuentan un número determinado de espirales como ésta, concretamente 55 espirales. Casualmente un número que está dentro de la Sucesión de Fibonacci.
Y en las dos ilustraciones de la derecha tenéis los otros casos, en azul y naranja, que nos proporcionan unos valores que también se hallan dentro de la sucesión: 34 y 21 espirales.
En principio, todos los girasoles del mundo muestran una cantidad de espirales que se hallan dentro de la Sucesión de Fibonacci. Podéis comprobarlo saliendo al campo y buscando una plantación.
También podéis usar la imagen de un girasol real o acudir a http://www.maths.surrey.ac.uk donde aparece explicado, junto a otras curiosidades.
A propósito: os recomiendo el resto de la página de Ron Knott (http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/), un matemático de la Universidad de Surrey, en Inglaterra: está llena de información muy valiosa y didáctica, todo muy bien explicado y con grandes dosis de elementos curiosos.
Para terminar llegamos a la tercera parte de la animación en la que se trabaja con un concepto un poco menos conocido que los anteriores: las Teselaciones de Voronoi, también conocidas como Polígonos de Thiessen.
Comentaros que este tema lo descubrí gracias a la página de Héctor García (www.kirainet.com), que visito prácticamente a diario (y que a pesar de ser un blog dedicado a la cultura japonesa y todo lo que tiene que ver con aquel país, de vez en cuando también nos regala con otros temas interesantes, como éste de Delaunay y Voronoi).
Estas formaciones geométricas se basan en un patrón de distribución que resulta fácilmente reconocible en muchas estructuras naturales, como las alas de los insectos o las ramificaciones capilares vegetales.
También es ampliamente utilizado para optimizar los sistemas de distribución basados en áreas de influencia, a la hora de decidir, por ejemplo, dónde se instalan las antenas de telefonía o las diferentes delegaciones de una cadena de pizzerías.
Veamos un sistema muy intuitivo de entender cómo se conforma una Teselación de Voronoi:
Imaginad que tenemos dos puntos: uno rojo y otro azul (arriba a la izquierda). Empezamos trazando una línea que los une y después otra perpendicular que se halle justo en la mitad. Acabamos de hallar la mediatriz del segmento de unión de estos dos puntos.
Arriba a la derecha añadimos un tercer punto verde y generamos dos nuevas mediatrices, que se interseccionan con la primera.
Si seguimos añadiendo puntos podremos ir generando sucesivas mediatrices que, con sus intersecciones, darán lugar a una serie de polígonos —Teselas de Voronoi— alrededor de un conjunto de “puntos de control”. De esta manera, el perímetro de los polígonos generados es equidistante a los puntos vecinos y designa su área de influencia.
Los segmentos que unen directamente los puntos forman una estructura triangular conocida como Triangulación de Delaunay. En la siguiente ilustración podéis ver el proceso conforme vamos añadiendo puntos: También encontraréis sistemas interactivos en la red, como el de la página web http://www.pi6.fernuni-hagen.de/GeomLab/VoroGlide/index.html.en, para ir añadiendo puntos, moverlos y comprobar cómo se actualiza la estructura.
En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en la animación: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi.
Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.
Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto).
También encontraréis sistemas interactivos en la red, como éste, para ir añadiendo puntos, moverlos y comprobar cómo se actualiza la estructura.
En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en la animación: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi.
Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.
Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto).
Podéis verlo en la siguiente gráfica, extraída de la Wikipedia:
Una vez que tenemos definida la Triangulación de Delaunay (izquierda) podemos ir girando 90º cada uno de los segmentos de los triángulos por el punto medio para dar con la Teselación de Voronoi (derecha). Exactamente lo que muestra la animación justo antes de alejarnos y mostrar la estructura del ala de nuestra libélula.
También podríamos utilizar los centros de cada circunferencia, marcados en rojo, ya que describen los vértices de las Teselas de Voronoi.
Por supuesto, estoy seguro de que si tomaramos una libélula real y analizasemos sus alas con la ayuda de una lupa o un microscopio, encontraríamos excepciones y desviaciones. Pero es indudable la similitud de ambas estructuras.
Publicado por Pedro Ilustraciones de Cristoval Vila
Comienzo mi andadura en este blog siguiendo con la temática del cómic.
Me encantan los cómics que se inspiran en la literatura sin necesariamente tener que copiar la obra, sino que se inspiran libremente en ella. Es el caso de Me acuerdo, libro de cómic de Zeina Abirached, editado por SinsEntido, que se inspira en la obra homónima de George Perec, pero basándose en sus propios recuerdos.
Je me souviens (Yo me acuerdo) es uno de los títulos más significativos de Georges Perec, el incansable obrero de las palabras que consiguió llevar el lenguaje a sus límites, siguiendo las directrices del OULIPO, "Ouvroir de Littèrature Potentielle", al que pertenecieron Raymond Queneau, Italo Calvino o Marcel Ducha entre otros.
Además de La disparition (donde consigue hacer desaparecer nada menos que a la letra más utilizada del francés, relatando una historia en la que no aparece ni una sola palabra con e) o Les revenentes ("Las que vuelven", donde se escribe un texto sin otra vocal que la e, precisamente), escribió Je me souviens, un libro en el que se reúnen 480 anotaciones de apenas unas líneas en las queel escritor se acuerda de imágenes de su vida, desde las más sublimes a las más cotidianas: "Me acuerdo de que mi tío tenía un CV11 con matrícula 7070RL" "Me acuerdo de Zatopek"
Pero quizás lo mejor del libro de Perec es el apéndice con páginas en blanco que hay al final de la edición, para que el lector del libro anote sus propios jemesouviens. De hecho, existe un agudo interés por parte de algunos coleccionistas, por conseguir ediciones de segunda mano de la obra de Perec, en las que se pueda rastrear la vida de lectores anónimos que recuerdan.
El escritorJuan Bonilla, por ejemplo, posee una colección de ediciones de este libro en las que ha conocido los recuerdos de distintos lectores de Perec, de algunos que se acuerdan del sonido del mar por la noche o de los muslos de un portero brasileño llamado Leao. Bonilla comprobaba que muchos de esos recuerdos eran compartidos por él mismo, llegando a una complicidad del recuerdo con los desconocidos que habían caligrafiado su memoria en las páginas de algún ejemplar gastado.
Compruebo yo igualmente que algunos de mis recuerdos son los mismos que los del propio Bonilla. Por ejemplo, yo también me acuerdo de Underground de Kusturica.
Este ejercicio de memoria es muy productivo a la hora de potenciar la creatividad. Cada jemesouviens es el esqueleto de un poema o relato, o en este caso de una viñeta, ya que son historias en miniatura, reales y evocadoras.
La autora del cómic Me acuerdo, recuerda en imágenes algunas experiencias. Algunos de sus jemesouviens son:
En cuanto a mí,
me acuerdo de Liv Tyler durmiendo en un tren en la primera escena de Belleza robada de Bertolucci,
me acuerdo de los huevos pasados por agua,
me acuerdo del movimiento del vestido de mi abuela al andar,
me acuerdo de tumbarme en los campos de cebada,
me acuerdo del café Greco,
me acuerdo de la Pilar en la Línea,
me acuerdo de las manos de Maribel, tocando "Redemption songs" de Bob Marley,
me acuerdo de un dibujo de Schliemann que hice en el instituto,
me acuerdo de Isabel,
...
incluso me acuerdo de haber hecho este mismo ejercicio con los alumnos y alumnas de mi clase. ¿de qué os acordáis vosotros?
(Publicad en los comentarios vuestros recuerdos importantes o sencillos, los que os han marcado o aquellos totalmente intrascendentes. Dejad fluir vuestra memoria e indagad en vuestro pasado.)
