Lugar para la reflexión, opinión e intercambio de experiencias, ideas y recursos entre los diversos agentes que componen la comunidad educativa del IES Gregorio Salvador de Cúllar.
En la edición del 3 de Octubre de 2010 de el diario El Pais podéis encontrar una serie de artículos (1, 2) y fotografías (3, 4) sobre la vida de Grigori Perelman, posiblemente el mayor genio matemático de finales del s. XX y lo que va del XXI.
La lectura de estos artículos me ha recordado que este matemático no es el único "especialito" que ha habido en la historia, han sido muchos y sus anécdotas abundantes también. Por ejemplo:
En cierta ocasión, Einstein invitó a Artur Schnabel, pianista de gran renombre, a pasar un fin de semana musical. Se enfrascaron en una sonata de Mozart bastante complicada; Einstein tenía problemas para seguir la partitura. Al final, y tras múltiples explicaciones, Schnabel se enfadó, golpeó con irritación las teclas y gimió: ” No, no, Albert, así no …! Por Dios! ¿Es que no sabes contar? Uno, dos, tres, cuatro …!”
Isaac Barrow (1630-1677) fue un niño problemático cuyo padre solía decir que si Dios tuviera que llevarse a uno de sus hijos, él podría prescindir de Isaac. Por suerte, Dios no se lo llevó y tuvo oportunidad de crecer. Se convirtió en el primer profesor lucasiano de Matemáticas de Cambridge, puesto que cedería en 1670 a Isaac Newton (más tarde a otros como Dirac y Hawing a día de hoy). De hecho, el propio Newton fue discípulo suyo.
Se podría decir que no hubo mucho afecto entre Barrow y el favorito del rey Carlos II, el conde de Rochester, quien había llamado a los sacerdotes “rancia reliquia de la divinidad”. Un día, en la corte, donde Barrow servía como capellán del rey, se encontró con el conde, quien le hizo una profunda reverencia y le dijo sarcásticamente:
- A sus pies, doctor.
- Y yo a sus plantas, señor.
- Seré vuestro más sincero servidor hasta el mismísimo centro de la Tierra, señor.
- Y yo en las antípodas, señor.
- Señor doctor, soy vuestro hasta en el más oscuro abismo del infierno.
- Pues yo ahí, señor mío, ya me separo de vos - respondió mordazmente Barrow y se fue.
Uno de los matemáticos más sorprendentes de la historia fue Paul Erdös (1913-1996). Escribió más de 1.200 artículos con unos 300 coautores. Ese tremendo número de publicaciones sólo ha sido superado en toda la historia por el inigualable Leonhard Euler.
No tenía un lugar fijo de residencia. Viajaba de un departamento de matemáticas a otro con dos maletas escribiendo los artículos con otros matemáticos mucho más “normales” que él. No se preocupaba lo más mínimo de su situación personal, nunca tuvo tarjeta de crédito ni talonario de cheques. Viajaba con dos maletas porque decía que “la propiedad privada es una carga”.
Por el contrario, siempre fue muy generoso con los demás. En 1984 ganó el premio Wolf, dotado con 50.000 dólares. Se quedó 750 y el resto lo repartió.
El título de este post puede parecer, a priori, algo pretencioso o sacado de un libro de autoayuda de Jorge Bucay. Pero nada más lejos o cerca de dicha idea.
La resolución del cubo de Rubik implica su estudio, y al igual que ocurre en la vida real, cuando se hace un movimiento para mover una pieza, hay que vigilar que todas las que están bien puestas no se descoloquen.
Son muchos los que han intentado acercar el cubo de Rubik a la gente, de explorar sus aspectos menos ociosos y darle una visión mucho mas humana tanto al objeto en sí como a su propia solución. Quizás fuera esta reflexión la que llevó a Samuel Sarmiento, durante una estancia en Alemania, como podía acercar la poesía a la gente de una manera más lúdica y atractiva.
El resultado de su idea se plasmó en lo que dió en llamar "Cubo Anatrópico". Este cubo no es más que un cubo de Rubik en los que en cada uno de los cuadrados de colores que componen sus diferentes caras aparecen diferentes textos que permiten, gracias a las permutaciones del juego original, construir diferentes poemas que tratan diferentes aspectos de la vida.
Los versos escritos en este cubo son de poetas chilenos como Pablo Neruda, Vicente Huidobro o el propio Samuel Sarmiento. La idea, el cubo de Rubik, en la que se basa este cubo hace del propio objeto algo lúdico y también lo convierte en una herramienta educativa tanto en el plano puramente matemático como en el lingüístico, pues colabora a mejorar la comprensión lectora, enriquece el lenguaje y también mejora la psicomotricidad.
De cualquier modo, el objeto de este post no solo es hablaros de estas cosas, sino hacer mencion a la charla que ayer dio Antonio Lara Sarabia (alumno de 4ºESO) a sus compñaeros del centro dentro de las jornadas de la semana de la ciencia que se esta desarrollando en el IES Gregorio Salvador.
Antonio habló de todo lo relativo a su invención, historia, resolución y variantes del juego original planteando y explicando un algoritmo para resolverlo. Todo ello quedó plasmado a través de una presentación en prezi (www.prezi.com) que os dejo aquí.
Como ya os dijo Antonio, el cubo de Rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional inventado por el profesor de arquitectura húngaroErnő Rubik en 1974. Originalmente llamado "cubo mágico" salió al mercado en 1980 y ganó el premio alemán a mejor juego del año en la categoría Mejor rompecabezas ese mismo año. Hasta enero de 2009 se han vendido 350 millones de cubos en todo el mundo, haciéndolo el juego de rompecabezas más vendido del mundo. Es considerado ampliamente el juguete más vendido del mundo.
Diversos estudios matemáticos han demostrado que el número de Dios del cubo de Rubik es 20. Es decir, que el número máximo de movimientos necesario para resolver el cubo de Rubik es de 20. Este Número de Dios ha sido considerado como el auténtico «Santo Grial» del cubismo. Esto quiere decir que todos los cubos, por muy revueltos que estén, pueden resolverse con solo 20 movimientos, y que ninguno requiere más que eso (aunque muchos requieren menos, naturalmente).
Este número ha sido rebajado, mediante demostraciones matemáticas, con los años. Así, hace algunas décadas, el número máximo era 23 y hace 5-6 años se consiguió rebajar a 22.
Para encontrar esta nueva solución los expertos han empleado 35 años en tiempo de CPU de ordenador donados por Google; el tiempo real fueron unas cuantas semanas. Los detalles del método son complejos, pero la idea era básicamente reducir el problema principal a un grupo de problemas más pequeños y luego comprobar cada posición de forma metódica: resolviendo todas y cada una de las 43.252.003.274.489.856.000 posiciones posibles que tiene un cubo de Rubik de 3×3×3.
Muchas posiciones iniciales quedaron eliminadas por giros, simetrías y similutudes de todo tipo, pese a lo que hubo que calcular individualmente millones y millones de ellas. Todas se pudieron resolver en un máximo de 20 movimientos, de ahí el valor de la solucion. Ahora se sabe tambien que «sólo» hay unos 300 millones de posiciones que requieran esos 20 movimientos, más o menos una de cada 1.000 millones de todas las posibles. Lo cual puede considerarse muchas o pocas, según se mire.
Sin embargo, al margen de cuestiones puramente técnicas, también quería hablaros de las consecuencias que ha tenido la irrupción del cubo de rubik en aspectos tan aparentemente separados del juego como el arte.
El éxito del cubo de Rubik fue tal que dio lugar a una serie de televisión y muchos trabajos literarios. El cubo se ganó un lugar como exhibición permanente en el Museo de Arte Moderno de Nueva York e ingresó en el Oxford English Dictionary. Son millones las páginas dedicadas a diferentes aspectos del cubo que podemos encontrar en internet y millares los vídeos en YouTube que ofrecen tutoriales y vídeos de soluciones.
Este corto de animación realizado por Cristobal Vila expone elegantemente la intrincada relación que existe entre la naturaleza y las matemáticas a través de la conocida sucesión de Fibonacci descrita por Leonardo de Pisa. Además de la increíble calidad del trabajo de Cristobal Vila me gustaría destacar la música que aparece en el vídeo. El tema música se llama Often a Bird de Wim Mertens.
A continuación, voy a dar una pequeña base teórica que permitirá entender mejor los fundamentos matemáticos en los que se basa la animación anterior.
La animación arranca presentando una sucesión de números. Una serie muy famosa y reconocida desde hace muchos siglos en el mundo occidental gracias a Leonardo de Pisa, una matemático italiano del siglo XIII, también llamado Fibonacci. Por eso se la conoce como Sucesión de Fibonacci, aunque ya había sido descrita con mucha anterioridad por los matemáticos hindúes.
Se trata de una sucesión infinita de números naturales donde el primer valor es 0, el siguiente es 1 y, a partir de ahí, cada cantidad se obtiene sumando las dos anteriores.
Los valores de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones, pero una de la más reconocida es la Espiral de Fibonacci, que siempre se ha utilizado como una aproximación a la Espiral Áurea (un tipo de espiral logarítmica) porque es más fácil de representar simplemente con la ayuda de un compás.
Eso es lo siguiente que se muestra en la animación, justo después de aparecer los primeros números de la sucesión: el proceso de construcción de una de estas espirales.
Primero se van creando cuadraditos que corresponden a cada valor de la sucesión: 1x1 - 1x1 - 2x2 3x3 - 5x5 - 8x8, etc y se disponen de la manera que vemos en el gráfico de la izquierda.
A continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci, a la derecha.
En la animación se ha introducido una pequeña corrección óptica para hacer que la curva resultante sea más parecida a una verdadera Espiral Áurea (más armoniosa y equilibrada), tal como se explica en la figura que aparece a continuación:
NOTA IMPORTANTE: aunque viendo la animación se transmite la idea de que la Espiral de Fibonacci (o la Espiral Áurea, tanto da) está en la base de la forma de un Nautilus, realmente no es así. Es curioso, porque si buscáis en Google Images: “espiral+nautilus” veréis cantidad de imágenes que sugieren que esta concha realmente se basa en el sistema constructivo descrito más arriba.
Por tanto en la animación Cristoval Vila ha hecho trampa. O se podría explicar de un modo más “fino”, diciendo que se ha tomado una licencia artística. Una vez que ha aparecido el Nautilus se da paso a la segunda parte de la animación. En ella se introduce el concepto de Proporción Áurea mediante la construcción de un Rectángulo Áureo. Para ello partimos de un simple cuadrado y utilizamos un procedimiento clásico que sólo requiere regla y compás. Lo podemos ver en la siguiente serie de ilustraciones:
Se trata un rectángulo muy especial y conocido desde antiguo. En él se cumple esta proporción, también conocida como Razón Áurea o Divina Proporción: el lado mayor (a) es al lado menor (b) lo que la suma de ambos (a+b) es al mayor (a).
El resultado de esta proporción (es decir, de la división de a por b) es un número irracional también conocido como Phi —no confundir con Pi— y con un valor aproximado de 1,61803399… Antiguamente no se concebía como una verdadera “unidad” sino como una sencilla relación de proporcionalidad entre dos segmentos. Y podemos encontrarla en numerosas figuras creadas por el ser humano en el arte y la arquitectura, desde las civilizaciones Babilónicas o Asirias hasta nuestros días, pasando por la Antigua Grecia o el Renacimiento.
UNA CURIOSIDAD: no está evidenciada en la animación, pero existe una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea.
A la izquierda tenemos un ejemplo (luego veremos otro más): si vamos dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales.
En la animación vamos un pasito más allá y llegamos a un nuevo concepto, quizás no tan conocido, pero igualmente importante: el Ángulo Áureo. Es decir, la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares:
Con estos dos segmentos circulares se sigue cumpliendo la misma proporcionalidad áurea, pero en este caso el valor del ángulo formado por el menor de ellos es otro número irracional, que podemos simplificar y redondear como 137,5º .
Y resulta que ese valor está muy presente en la naturaleza. Esto es lo siguiente que vemos en la animación: cómo se configura la estructura que forman las pipas de un girasol.
Fijáos en al siguientes figuras:
— Aportamos una primera pipa de color rojo.
— Giramos 137,5º
— Añadimos una segunda pipa de color verde y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro.
— Giramos otros 137,5º
— Añadimos una tercera pipa de color tostado y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro, hasta tocar con la primera.
— Giramos otros 137,5º…
… y así sucesivamente, pipa tras pipa, iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tenéis en las siguientes figuras.
De este modo llegamos a la estructura característica en la que están dispuestas todas las pipas en su girasol, que es la más compacta posible. Siempre se ha dicho: la naturaleza es sabia :-) OTRA CURIOSIDAD: ¿Recordáis que habíamos comentado que había una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea? Pues bien, a continuación tenemos otro punto de encuentro entre ambos conceptos. Fijaos en las siguientes imágenes de un girasol.
Si observáis atentamente la configuración de las pipas veréis cómo aparecen una serie de patrones en espiral. En la ilustración de la izquierda tenéis resaltadas tres de las tipologías de espirales que podemos encontrar.
Pues bien: si os centráis en una de las tipologías, por ejemplo la que aparece en verde, y os vais a la ilustración superior derecha podréis comprobar que se cuentan un número determinado de espirales como ésta, concretamente 55 espirales. Casualmente un número que está dentro de la Sucesión de Fibonacci.
Y en las dos ilustraciones de la derecha tenéis los otros casos, en azul y naranja, que nos proporcionan unos valores que también se hallan dentro de la sucesión: 34 y 21 espirales.
En principio, todos los girasoles del mundo muestran una cantidad de espirales que se hallan dentro de la Sucesión de Fibonacci. Podéis comprobarlo saliendo al campo y buscando una plantación.
También podéis usar la imagen de un girasol real o acudir a http://www.maths.surrey.ac.uk donde aparece explicado, junto a otras curiosidades.
A propósito: os recomiendo el resto de la página de Ron Knott (http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/), un matemático de la Universidad de Surrey, en Inglaterra: está llena de información muy valiosa y didáctica, todo muy bien explicado y con grandes dosis de elementos curiosos.
Para terminar llegamos a la tercera parte de la animación en la que se trabaja con un concepto un poco menos conocido que los anteriores: las Teselaciones de Voronoi, también conocidas como Polígonos de Thiessen.
Comentaros que este tema lo descubrí gracias a la página de Héctor García (www.kirainet.com), que visito prácticamente a diario (y que a pesar de ser un blog dedicado a la cultura japonesa y todo lo que tiene que ver con aquel país, de vez en cuando también nos regala con otros temas interesantes, como éste de Delaunay y Voronoi).
Estas formaciones geométricas se basan en un patrón de distribución que resulta fácilmente reconocible en muchas estructuras naturales, como las alas de los insectos o las ramificaciones capilares vegetales.
También es ampliamente utilizado para optimizar los sistemas de distribución basados en áreas de influencia, a la hora de decidir, por ejemplo, dónde se instalan las antenas de telefonía o las diferentes delegaciones de una cadena de pizzerías.
Veamos un sistema muy intuitivo de entender cómo se conforma una Teselación de Voronoi:
Imaginad que tenemos dos puntos: uno rojo y otro azul (arriba a la izquierda). Empezamos trazando una línea que los une y después otra perpendicular que se halle justo en la mitad. Acabamos de hallar la mediatriz del segmento de unión de estos dos puntos.
Arriba a la derecha añadimos un tercer punto verde y generamos dos nuevas mediatrices, que se interseccionan con la primera.
Si seguimos añadiendo puntos podremos ir generando sucesivas mediatrices que, con sus intersecciones, darán lugar a una serie de polígonos —Teselas de Voronoi— alrededor de un conjunto de “puntos de control”. De esta manera, el perímetro de los polígonos generados es equidistante a los puntos vecinos y designa su área de influencia.
Los segmentos que unen directamente los puntos forman una estructura triangular conocida como Triangulación de Delaunay. En la siguiente ilustración podéis ver el proceso conforme vamos añadiendo puntos: También encontraréis sistemas interactivos en la red, como el de la página web http://www.pi6.fernuni-hagen.de/GeomLab/VoroGlide/index.html.en, para ir añadiendo puntos, moverlos y comprobar cómo se actualiza la estructura.
En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en la animación: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi.
Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.
Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto).
También encontraréis sistemas interactivos en la red, como éste, para ir añadiendo puntos, moverlos y comprobar cómo se actualiza la estructura.
En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en la animación: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi.
Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.
Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto).
Podéis verlo en la siguiente gráfica, extraída de la Wikipedia:
Una vez que tenemos definida la Triangulación de Delaunay (izquierda) podemos ir girando 90º cada uno de los segmentos de los triángulos por el punto medio para dar con la Teselación de Voronoi (derecha). Exactamente lo que muestra la animación justo antes de alejarnos y mostrar la estructura del ala de nuestra libélula.
También podríamos utilizar los centros de cada circunferencia, marcados en rojo, ya que describen los vértices de las Teselas de Voronoi.
Por supuesto, estoy seguro de que si tomaramos una libélula real y analizasemos sus alas con la ayuda de una lupa o un microscopio, encontraríamos excepciones y desviaciones. Pero es indudable la similitud de ambas estructuras.
Publicado por Pedro Ilustraciones de Cristoval Vila
Como ya os he comentado muchas veces, la matemática no es el gran árbol de la ciencia, y, como buen árbol, está conformado por multitud de ramas, cada una con su grosor, su fuerza,... Algunas de ellas habéis empezado a estudiarlas y otras os son aún desconocidas.
La rama matemática de la topología puede que para muchos de vosotros sea lo más parecido posible al chino, pero es una rama que da pie a muchosjuegos matemáticosque quizás no os resulten tan extraños. De cualquier modo, el objeto de este primer post no es calentaros la cabeza con topología sino algo mucho más sencillo pero a la vez muy curioso. Este objeto matemático se conoce como labanda de Moebius. La curiosidad de este objeto matemático radica en que es una superficie reglada con un solo lado y un solo componente de contorno (borde), es decir es una superficie que tiene una sola cara. Además, tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Parecería que la banda de Moebius está diseñada para desorientar hormigas. Así, una hormiga que se arrastrara sobre la banda de Moebius, andando siempre por la parte media de la misma, llegaría a su posición original en el lado inferior, es decir sobre su cara opuesta, luego se encontraría invertida con respecto a la posición de partida.
En 1963, Maurits Cornelis Escher fue uno de los primeros artistas capaz de plasmar de manera artística la habilidad desorientadora de la banda de Moebius en su obra Möbius Strip IIque aparece en este mismo post.
Otra aplicación divertida que leí en un libro es que en ciertas industrias se construyen cintas transportadoras con materiales abrasivos pero con forma de banda de Moebius, de modo que se aprovechan las dos caras y duran el doble.
Pero no es quería hablar de todo esto, sino mostraros una curiosa y original tira cómica que ha hecho el artista Jim Woodring y editado Fantagraphics.
Debe ser el único cómic del mundo que tiene una sola cara y un solo borde (En este enlace podéis ver un video y un gif animado del comic para que podáis leerlo).
Toda la vida hemos jugado a multitud de juegos de mesa en los que el azar intervenía a través de la simple tirada de uno o varias dados de 6 caras. Evidentemente, seguirán desarrollándose multitud de juegos basados en este azarosa premisa. Pero es necesario, igual que otros aspectos, reinventarse o morir. Una de las maneras más simples de hacerlo en el caso de los juegos de mesa es trayendo un poco de diseño a los dados que dictan nuestros movimientos y los de nuestros "rivales".
Pues bien, Eric Harshbarger, un genial artista y diseñador, ha creado divertidas series de dados. A continuación, os pongo algunos de los más curiosos y os invito a seguir sus pasos e incluso extendiéndolos a dados con más caras. Por cierto, alguien sabe ¿cuáles son las premisas para diseñar un dado y cuántos tipos diferentes de dados puede haber según su número de caras? Dados binarios
Muchos de vosotr@s puede que no sepáis lo que es código binario. Dicho código es el "idioma" en que se comunican las máquinas entre ellas, aunque ya en el s. III el matemático indio Pingala describe el primer sistema de numeración binario conocido. Un sistema binario está basado en el uso exclusivo de dos dígitos, en particular el 1 y el 0, para expresar cualquier tipo de información. Este tipo de dados utiliza dicho código para expresar los números de 1 al 6, que están expresados en el sistema decimal. Sabiendo que en sistema binario el 0 (sistema decimal) se nota como 0 (sistema binario), el 1 (sistema decimal) como 1 (sistema binario), el 2 (sistema decimal) como 10 (sistema binario) y el 3 (sistema decimal) como 11 (sistema binario), ¿seriáis capaces de determinar como se expresan el 4, 5 y 6 en sistema binario? Pista: Ayudaros de la posición de dichos números en un dado clásico y de la imagen que aparece arriba.
Por último, una clásica broma binaria: "There are 10 types of people in the world, those who understand binary, and those who don't." Dados Lego
¿Quién no ha jugado nunca con unas fichas de lego? Pues bien, si buscáis los diferentes tipos de fichas que hay y las observáis cuidadosamente, veréis que también pueden ser utilizadas para representar los números que aparecen en cada una de las caras de un dado. ¿No os parece bastante más divertido?
Si investigáis un poco la fichas de lego podréis hallar una pequeña trampa que Eric Harshbarger hizo para poder diseñar el dado. ¿Cuál es dicha trampa? Dados Ajedrez
Espero que muchos de vosotr@s sepáis o hayáis jugado alguna vez al rey de los juegos: el Ajedrez. En el ajedrez, cada una de las piezas tiene un valor de acuerdo con las capacidades ofensivas y defensivas que dicha pieza posea. Este valor está, por tanto, íntimamente relacionado con los movimientos que cada pieza puede efectuar sobre el tablero. Es obvio, que el rey es la pieza de más valor, ya que en el Ajedrez clásico la derrota de uno de los jugadores supone la caida del rey rival. De acuerdo con esto, ¿qué figura equivale a cada número en uno de estos dados hexagonales? ¿Cuál es el valor de cada pieza en el ajedrez? ¿Cómo justificáis la posición en un dado del alfil y del caballo?
Si alguno de vosotr@s se anima a echar unas partidas podemos jugar en el recreo. Dados Matemáticos I
Os suenan todos esos símbolos, ¿verdad? Están en vuestras peores pesadillas, jajjaja. Pues bien este curioso sistema de dados se conoce como G4G9 y Eric Harshbarger los diseño para un homenaje al genial divulgador de las matemáticas Martin Gardner. Los dados G4G9 se basan en el representación de los números de las caras de un dado utilizando siempre cuatro (de ahí el 4 de la notación del tipo de dados) 9 (de ahí lo del 9). Una vez que sabéis esto, ¿qué operaciones corresponden a cada uno de dichos números? ¿Seríais capaces de diseñar unos dados G4G4? Dados Matemáticos II
Este problema es más difícil, pero mi fe en vosotr@s es inagotable. Esos símbolos que aparecen en las caras de estos dados también son operaciones matemáticas aunque aún no las conocéis. No os preocupéis, en breve os atormentaran a algunos de vosotros. En fin os reto a que determinéis que operación matemática representa cada cara. Os doy alguna pista sobre las operaciones que aparecen en los dados: Numeros Combinatorios Logaritmos Sumatorios Integrales Razones Trigonométricas Factoriales
En este caso se trata de un dado de doce caras, dodecaedro. El valor de dichas caras viene determinado a través de los diferentes, si obviamos cuestiones de simetría, pentominos que se pueden formar. Un pentomino no es más que la
es una poliforma, es decir, una figura geométrica formada por cinco cuadrados unidos por sus lados. Como ya os advertí anteriormente, sólo existen 12 pentominos diferentes si obviamos cuestiones de simetría y por tanto dichos pentominos podrían usarse para notar las 12 caras de un dodecaedro. Quizás el problema sería determinar o fijar el valor de dichos pentominos, ¿se os ocurre alguna manera de hacerlo?
Igual que se pueden formar pentominos por la unión por sus lados de 5 cuadrados podríamos construir tetraminos mediante la unión por sus lados de 4 cuadrados. ¿Cuántas caras tendría un dado cuyas caras fueran representados utilizando los diferentes tetraminos que es posible construir obviando cuestiones de simetría? Dados Conjuntos Numéricos
Un último problema, ¿cuál es la lógica que se sigue para la disposición de las caras de este dado de acuerdo a los diferentes conjuntos numéricos clásicos?
Pista: Debes saber que en una de las caras de dicho dado aparece el conjunto vacío y en otra en conjunto de los números complejos.
